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Lineare Algebra I > Vektorräume > Flashcards

Flashcards in Vektorräume Deck (14)
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1
Q

Was ist der Unterschied zwischen einer inneren Verknüpfung ∔ und einer äusseren Verknüpfung ∙ ?

A

∔: Kⁿ × Kⁿ → Kⁿ, (x, y) ↦ x ∔ y
∙ : K × Kⁿ → Kⁿ, (λ, y) ↦ λ ∙ y
Eine innere Verknüpfung ∔ passiert innerhalb desselben Körpers (z.B. die Addition zweier Längen [m] ergibt immer noch eine Länge [m].)
Bei einer äusseren Verknüpfung ∙ sind Argumente oder Werte der Verknüpfung nicht im selben Körper. (z.B. die Multiplikation zweier Längen [m] ergibt eine Fläche [m²] oder die Multiplikation einer Länge [m] mit einem Skalar [ . ] ergibt eine Länge [m].)

2
Q

Wie ist ein K-Vektorraum definiert? - Was sind die Verknüpfungen und welche zwei Eigenschaften müssen gelten?

A

Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung (Addition)
∔: V × V → V, (v, w) ↦ v ∔ w
und einer äusseren Verknüpfung (Multiplikation)
∙ : K × V → V, (λ, v) ↦ λ ∙ v
heisst K-Vektorraum, wenn gilt:
(V1) V zusammen mit der Addition ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element 0 heisst Nullvektor, das Negative wir mit -v bezeichnet.
(V2) Die Multiplikation mit Skalaren muss folgendermassen mit den anderen Verknüpfungen verträglich sein:
(λ + μ) ∙ v = (λ + μ) ∙ v = λ ∙ v ∔ μ ∙ v,
λ ∙ (v ∔ w) = λ ∙ v ∔ λ ∙ w,
λ ∙ (μ ∙ v) = (λμ) ∙ v,
1 ∙ v = v,
für alle λ, μ ∈ K und v, w ∈ V.

3
Q

Welche vier Rechenregeln gelten in einem K-Vektorraum?

A

(1) 0 ∙ v = 0
(2) λ ∙ 0 = 0
(3) λ ∙ v = 0 ⇒ λ = 0 oder v = 0
(4) (-1) ∙ v = -v
(Beweise s. Skript S. 77)

4
Q

Was für eine Teilmenge W ⊆ V eines K-Vektorraums gelten, damit W ein Untervektorraum von V ist?

A

(UV1) W ≠ 0.
(UV2) v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen gegenüber der Addition.)
(UV3) v ∈ W, λ ∈ K ⇒ λv ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen gegenüber der Multiplikation mit Skalaren.)

5
Q

Wie kann man mithilfe des Satzes über Untervektorräume W ⊆ V mühsames Nachweisen der Vektorraumaxiome für W vermeiden?

A

Da W ⊆ V zusammen mit der induzierten Addition und Multiplikation mit Skalaren (von V auf W induziert) wieder ein Vektorraum ist, reicht es, die Axiome für den grössten Vektorraum (hier V) nachzuweisen.

6
Q

Was besagt das Lemma über die Schnittmenge von Untervektorräumen?

A

Sei V ein Vektorraum, I eine beliebige Indexmenge und Wᵢ ein Untervektorraum für jedes i ∈ I. Dann ist der Durchschnitt W := ∩(i ∈ I) Wᵢ ⊆ V wieder ein Vektorraum.

7
Q

Was ist eine Linearkombination?

A

Sei V ein K-Vektorraum, (vᵢ) für i ∈ I eine Familie von Vektoren und vᵢ ∈ V. Ist I = {1, …, r}, so ist ein Vektor v ∈ V eine Linearkombination von v₁, …, vᵣ, wenn es λ₁, …, λᵣ gibt, so dass:
v = λ₁v₁ + … + λᵣvᵣ.

8
Q

Welche Werte besitzt die Linearkombination v für:

v₁,₂ = [(0, 5), (3, 2)] und λ₁,₂ = [2, 1]?

A

v = [3, 12]

9
Q

Was ist der von einer Familie aufgespannte (bzw. erzeugte) Raum (engl.: span)?

A

Für ein allgemeines I definiert man spanₖ (vᵢ) für i ∈ I als die Menge aller v ∈ V, die sich aus einer (von v abhängigen) endlichen Teilfamilie von (vᵢ) für i ∈ I linear kombinieren lassen.
Achtung: vᵢ sind hier die resultierenden Vektoren von Linearkombinationen, für die einzelnen Vektoren von vᵢ verwenden wir Doppelindizes, also vᵢ₁, …, vᵢᵣ.

10
Q

Was ist der aufgespannte Raum, wenn die Indexmenge I = ∅?

A

spanₖ (vᵢ) für i ∈ ∅ := {0}.

11
Q

Welche zwei Aussagen gelten für einen aufgespannten Raum span(vᵢ) innerhalb eines K-Vektorraums V und einer Familie von Elementen (vᵢ) für i ∈ I aus V?

A

(1) span(vᵢ) ⊆ V ist Untervektorraum.

(2) Ist W ⊆ V Untervektorraum, und gilt vᵢ ∈ W für alle i ∈ I, so ist span(vᵢ) ⊆ W.

12
Q

Sei M ⊆ V eine Teilmenge, was gilt für span(M)?

A

span(M) ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Vektoren aus M, und das ist der kleinste Untervektorraum mit M ⊆ span(M) ⊆ V.

13
Q

Sei V ein K-Vektorraum. Wann ist eine endliche Familie (v₁, …, vᵣ) von Vektoren aus V linear unabhängig? Wann ist sie linear abhängig?

A

Falls gilt:
Sind λ₁, …, λᵣ ∈ K und ist λ₁v₁ + … + λᵣvᵣ = 0, so folgt:
λ₁ = … = λᵣ = 0.
Das heisst: Der Nullvektor lässt sich nur aus den einzelnen Vektoren kombinieren, wenn alle Koeffizienten auf null gesetzt werden.
Die Familie (v₁, …, vᵣ) heisst linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig ist, d.h., falls ein Vektor Koeffizienten ungleich null haben kann und sie sich trotzdem zum Nullvektor kombinieren lassen.

(Für geometrische Interpretation vgl. Wikipedia oder YouTube (Channel: 3blue1brown) => sehr hilfreich!)

14
Q

Welche vier Aussagen lassen sich zur linearen (Un-)Abhängigkeit in jedem K-Vektorraum V definieren?

A

(1) Ein einziger Vektor v ∈ V ist genau dann linear abhängig, wenn v ≠ 0.
(2) Gehört der Nullvektor zu einer Familie, so ist sie linear abhängig.
(3) Kommt der gleiche Vektor in einer Familie mehrmals vor, so ist sie linear abhängig.
(4) Ist r ≥ 2, so sind die Vektoren v₁, …, vᵣ genau dann linear unabhängig, wenn einer davon Linearkombination der anderen ist.