Lineare Gleichungssysteme und Abbildungen Flashcards Preview

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Flashcards in Lineare Gleichungssysteme und Abbildungen Deck (30)
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1
Q

Was ist ein lineares Gleichungssystem und was ist der Unterschied zwischen einem homogenen und einem inhomogenen System?

A

Für eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und eine Spalte
b = ᵗ(b₁, …, bₘ) ∈ M(m×1; K) ergibt sich das lineare Gleichungssystem:
A * x = b, d.h.: Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼxⱼ = bᵢ, für i = 1, …, m. (**)

Man nennt 
A * x = 0 ⇔ Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼxⱼ = 0, für i = 1, ..., m
das zu (**) gehörende homogene System. Ist b ≠ 0, so nennt man das System (**) inhomogen.
2
Q

Was sind Lösungsräume eines linearen Gleichungssystems?

A

Lösungsräume sind definiert als die Mengen

Lös(A, b) := {x ∈ Kⁿ: A * x = b} ⊆ Kⁿ.

3
Q

Was gilt allgemein für die Lösungsräume Lös(A, b) der linearen Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ, x ↦ A * x ?

A

Für die Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ, x ↦ A * x gilt:
Lös(A, b) = F⁻¹(b) und
Lös(A, 0) = Ker(F).

4
Q

Wie wird die Grösse der Lösungsräume eines linearen Gleichungssystems festgelegt?

A

Die Grösse der Lösungsräume ist festgelegt durch

r := rang(F) = rang(A) = Spaltenrang A.

5
Q

Sei A * x = b ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen, n Unbekannten und r = rang(A). Welche zwei Korollare gelten für die Lösungsräume?

A

(1) Lös(A, 0) ⊆ Kⁿ ist ein Untervektorraum mit dim = n - r.
(2) Lös(A, b) ⊆ Kⁿ ist entweder leer oder ein affiner Raum mit dim = n - r. Ist Lös(A, b) beliebig, so gilt:
Lös(A, b) = v + Lös(A, 0).

Anders ausgedrückt, erhält man die sog. allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems durch die Addition einer sog. speziellen Lösung des inhomogenen Gleichungssystems und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Gleichungssystems.

6
Q

Wann ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems nicht leer?

A

Der Lösungsraum eines linearen GLS A * x = b ist genau dann nicht leer, wenn gilt:
rang(A) = rang(A, b)

7
Q

Was ist der Zeilenrang eines GLS (A, b) und wie kann man ihn leicht berechnen?

A

Man bringt (A, b) auf Zeilenstufenform. Der Zeilenrang ist gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen.

Anmerkung: Jede Matrix lässt sich durch elementare Zeilenumformungen (vgl. Kapitel 0) auf Zeilenstufenform bringen und der Lösungsraum ändert sich dadurch nicht, d.h.: Lös(A~, b~) = Lös(A, b)

8
Q

Sei (A, b) in Zeilenstufenform mit r = Zeilenrang A und b ∈ Kʳ. Welche drei Eigenschaften hat die von b abhängige Parametrisierung 𝛷ᵦ: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, b) ⊆ Kⁿ?

(Achtung: 𝛷ᵦ soll heissen “𝛷 index b”, da das Unicode-Alphabet so geil ist und nur einen Teil der Buchstaben als Index zur Verfügung stellt, gibt es kein b, aber Hauptsache ein fucking beta…)

A

(1) 𝛷₀: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, 0) ⊆ Kⁿ ist ein Vektorraumisomorphismus.
(2) 𝛷ᵦ: Kⁿ⁻ʳ → Lös(A, b) ⊆ Kⁿ ist für jedes b ∈ Kʳ bijektiv.

(3) Es gibt einen Homomorphismus 𝜑: Kʳ → Kⁿ, so dass für alle b ∈ Kʳ gilt:
𝛷ᵦ = 𝜑(b) + 𝛷₀ und Lös(A, b) = 𝜑(b) + Lös(A, 0).

9
Q

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

A

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

10
Q

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

A

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

11
Q

Was ist der Unterschied zwischen einem universell lösbaren Gleichungssystem und einem speziell lösbaren Gleichungssystem?

A

Sei A ∈ M(m×n; K) eine Matrix von Rang m, so ist die lineare Abbildung A: Kⁿ → Kᵐ surjektiv und der Lösungsraum von A * x = b für jedes b ∈ Kᵐ nicht leer. Ein solches GLS nennt man universal lösbar.
Ist der Rang von A kleiner als m, so ist das System nur für spezielle b lösbar.

12
Q

Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit v₁, …, vᵣ ∈ V und w₁, …, wᵣ ∈ W. Was gilt für die linearen Abbildungen, wenn…?

(1) v₁, …, vᵣ sind linear unabhängig.
(2) (v₁, …, vᵣ) ist eine Basis.

A

(1) Sind v₁, …, vᵣ linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r.

(2) Ist (v₁, …, vᵣ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r, mit folgenden Eigenschaften:
a) Im(F) = span(w₁, …, wᵣ).
b) F ist injektiv ⇔ w₁, …, wᵣ sind linear unabhängig.

13
Q

Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit v₁, …, vᵣ ∈ V und w₁, …, wᵣ ∈ W. Was gilt für die linearen Abbildungen, wenn…?

(1) v₁, …, vᵣ sind linear unabhängig.
(2) (v₁, …, vᵣ) ist eine Basis.

A

(1) Sind v₁, …, vᵣ linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r.

(2) Ist (v₁, …, vᵣ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F: V → W mit F(vᵢ) = wᵢ für i = 1, …, r, mit folgenden Eigenschaften:
a) Im(F) = span(w₁, …, wᵣ).
b) F ist injektiv ⇔ w₁, …, wᵣ sind linear unabhängig.

14
Q

Welche zwei Korollare folgen aus dem Satz über die Erzeugung von linearen Abbildungen?

Tipp:

(1) Isomorphismus
(2) Matrix

A

(K1) Ist V ein Vektorraum mit einer Basis 𝓑 = (v₁, …, vₙ), so gibt es dazu genau einen Isomorphismus:
𝛷ᵦ: Kⁿ → V mit 𝛷ᵦ(eⱼ) = vⱼ für j = 1, …, n, wobei (e₁, …, eₙ) die kanonische Basis von Kⁿ bezeichnet.

(K2) Zu jeder linearen Abbildung F: Kⁿ → Kᵐ gibt es genau eine Matrix A ∈ M(m×n; K), so dass F(x) = A * x gilt für alle Spaltenvektoren x ∈ Kⁿ.
Man braucht also in diesem Fall nicht mehr zwischen linearen Abbildungen und Matrizen zu unterscheiden.

15
Q

Wie ist die Matrix zu einer linearen Abbildung F: V → W definiert, wann gibt es eine zu jeder linearen Abbildung und welche Eigenschaften gelten für die Matrix?

A

Seien V und W K-Vektorräume mit Basen 𝓐 = (v₁, …, vₙ) und 𝓑 = (w₁, …, wₙ).
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F: V → W genau eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K), so dass gilt:
F(vⱼ) = Σᵐᵢ₌₁ aᵢⱼwᵢ für j = 1, …, n.

Man erhält die Abbildung:
Mᴬᵦ: Hom(V, W) → M(m×n; K), F ↦ A = Mᴬᵦ(F)
Diese ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen und es gilt:
Mᴬᵦ(F + G) = Mᴬᵦ(F) + Mᴬᵦ(G) und
Mᴬᵦ(𝜆F) = 𝜆Mᴬᵦ(F).

16
Q

Wie ist die Matrix zu einer linearen Abbildung F: V → W definiert, wann gibt es eine zu jeder linearen Abbildung und welche Eigenschaften gelten für die Matrix?

A

Seien V und W K-Vektorräume mit Basen 𝓐 = (v₁, …, vₙ) und 𝓑 = (w₁, …, wₙ).
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F: V → W genau eine Matrix A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K), so dass gilt:
F(vⱼ) = Σᵐᵢ₌₁ aᵢⱼwᵢ für j = 1, …, n.

Man erhält die Abbildung:
Mᴬᵦ: Hom(V, W) → M(m×n; K), F ↦ A = Mᴬᵦ(F)
Diese ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen und es gilt:
Mᴬᵦ(F + G) = Mᴬᵦ(F) + Mᴬᵦ(G) und
Mᴬᵦ(𝜆F) = 𝜆Mᴬᵦ(F).

17
Q

Wie kann man mit Hilfe einer Basis Vektoren eindeutig als Linearkombinationen darstellen?

A

Man kann Abbildungen als Vektoren betrachten und mit Hilfe zweier Basen analog verfahren. Dazu sei
Fʲᵢ: V → W erklärt durch Fʲᵢ(vₖ) = wᵢ, falls k = j, und 0 sonst.
Dann ist Mᴬᵦ(Fʲᵢ) = Eʲᵢ und die m * n Abbildungen Fʲᵢ bilden eine Basis von Hom(V, W). Die zur Linearkombination eines beliebigen F nötigen Skalare stehen an passender Stelle in Mᴬᵦ(F).

18
Q

Wie bildet man die Einheitsmatrix aus einer Abbildung F: V → W und was sind die Voraussetzungen?

A

Sei F: V → W linear, n = dim(V), m = dim(W) und r = dim(Im(F)). Dann gibt es Basen 𝓐 von V und 𝓑 von W, so dass Mᴬᵦ(F) = (Eᵣ 0 ; 0 0) die r-reihige Einheitsmatrix darstellt.

(Anmerkung: (Eᵣ 0 ; 0 0) ist die Darstellung der Matrix mit (Eᵣ 0) in der ersten Zeile und (0 0) in der zweiten Zeile.)

19
Q

Wie geht man beim Finden einer Einheitsmatrix zu einer Abbildung F: V → W vor, wenn der Bildraum W gleich dem Urbildraum V ist?

A

Ist der Bildraum W gleich dem Urbildraum V, so hat man einen Endomorphismus. Zur Vereinfachung setzt man 𝓐 = 𝓑 und Mᵦ = Mᴬᵦm sowie End(V) = Hom(V, V). Der Vektorraumisomorphismus Mᵦ: End(V) → M(m×n; K) ist dann charakterisiert durch die Gleichung
F(vⱼ) = Σⁿᵢ₌₁ aᵢⱼvᵢ für j = 1, …, n, wenn gilt:
𝓑 = (v₁, …, vₙ) und A = (aᵢⱼ) = Mᵦ(F).
Folglich beschreibt die n-reihige Einheitmatrix Eₙ = (𝛿ᵢⱼ) die identische Abbildung Mᵦ(idᵥ) = Eₙ.

20
Q

Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können?

A

Die Spaltenzahl einer Matrix A muss mit der Zeilenzahl einer Matrix B übereinstimmen (da immer Spalte mal Zeile gerechnet wird).

21
Q

Seien A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) Matrizen. Wie ist das Produkt A * B definiert?

A

A * B = (cᵢₖ) ∈ M(m×r; K) ist gegeben durch:

cᵢₖ = Σⁿⱼ₌₁ aᵢⱼbⱼₖ.

22
Q

Wie stehen die Grössen zweier Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) im Verhältnis zu ihrem Produkt?

A

Die Matrix C = A * B hat so viele Zeilen wie A und so viele Spalten wie B, im Beispiel A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) hätte C somit r Spalten und m Zeilen.

23
Q

Was gilt für das Prudukt A * B, falls m = r = 1 gilt für zwei Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K)?

A

Das Produkt A * B = C ∈ M(1x1; K), besteht also nur aus einer Zahl.
Hier gilt es aufzupassen, dass wirklich die Zeilenzahl von A und die Spaltenzahl von B gleich 1 sind und nicht umgekehrt, denn ansonsten gälte C ∈ M(1x1; K).

24
Q

Was gilt für das Produkt zweier Matrizen A = (aᵢⱼ) ∈ M(m×n; K) und B = (bⱼₖ) ∈ M(n×r; K) zu beachten, wenn m = n = r gilt?

A

Man kann in diesem Fall sowohl das Produkt von A * B als auch von B * A nehmen, da für die jeweiligen Lösungsmatrizen C und D gilt:
C, D ∈ M(mxm; K).
Jedoch gilt zu beachten, dass in den meisten Fällen A * B ungleich B * A ist.

25
Q

Welche fünf Rechenregeln gelten für Matrizen?

A

Sind Matrizen A, A’ ∈ M(mxn; K) und B, B’ ∈ M(nxr; K) und C ∈ M(rxs; K) sowie ein 𝜆 ∈ K gegeben, so gilt:

(1: Distributivgesetz) A * (B + B’) = A * B + A * B’ und
(A + A’) * B = A * B + A’ * B.

(2) A * 𝜆B = 𝜆A * B = 𝜆(A * B).
(3: Assoziativgesetz) (A * B) * C = A * (B * C).
(4) ‘(A * B) = ‘B * ‘A, aber (!) ‘(A * B) ≠ ‘A * ‘B
(5: Neutralität der Einheitsmatrix) Eₘ * A = A * Eₙ = A.

(Für Beweise s. Skript S. 147f.)

26
Q

Was gilt für die Menge aller quadratischen Matrizen?

Tipp: Algebraische Struktur

A

Die Menge M(nxn; K) mit der Addition und der Multiplikation ist ein Ring.

27
Q

Wie hängt der Rang der Produktmatrix von den Rängen der Faktoren ab?

A

Ist A ∈ M(mxn; K) und B ∈ M(nxr; K), so gilt:

rangA + rangB - n ≤ rang(A * B) ≤ min{rangA, rangB}.

28
Q

Wann ist eine Matrix per Definition invertierbar?

A

Eine Matrix A ∈ M(nxn; K) heisst invertierbar, wenn es ein A’ ∈ M(nxn; K) mit:
A * A’ = A’ * A = Eₙ.

29
Q

Was ist die “allgemeine lineare Gruppe” GL?

A

Die Menge
GL(n; K) = {A ∈ M(nxn; K): A invertierbar}
mit der Multiplikation von Matrizen als Verknüpfung ist eine Gruppe mit neutralem Element Eₙ und heisst “allgemeine lineare Gruppe”.

30
Q

Welche vier Aussagen sind für eine Matrix A ∈ M(nxn; K) gleichwertig?
Tipp: Invertierbarkeit und Rang

A

(1) A ist invertierbar.
(2) ‘A ist invertierbar.
(3) Spaltenrang A = n.
(4) Zeilenrang A = n.